Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematika Pondělí: Základna Za

Jedna cesta k matematickému objevu spočívá ve změně vlastností nebo parametrů něčeho, co je dobře pochopeno, aby se zjistilo, co se stane, když se liší. Do našeho binárního čítače jsme například zahrnuli pasti a tyto pasti umožnily upravit počet kuliček, které by uložily před spuštěním. Úprava kapacity pasti vedla k nové matematické struktuře - ternárnímu číselnému systému.

Když jsme vlastně stavěli změněný stroj, představili jsme novou komponentu, únik. Takže teď jsme v pozici, kdy se můžeme zeptat: proč se omezit na to, že si vezmeme jen jeden míč? Ve skutečnosti, James Tanton a Global Math Project, který organizoval, se tento měsíc ptají lidí po celém světě: co by se mohlo stát, kdybychom pokaždé, když jeden z našich hodnot na místě, přetečily dvě koule? (Všimněte si, že Jim Propp, o kterém se dozvíme více níže, navrhl tuto otázku Tantonovi v 90. letech.) Velmi jednoduchá modifikace našeho ternárního čítače / sčítačky bude tuto otázku fyzicky osvětlovat.

Jmenovitě vše, co potřebujeme udělat, je upravit každý únik tak, aby měl dvě míčky, a ne jednu. Tímto způsobem, když se aktivují přidružené pasti, uvolní dvě koule do další pasti. A požadovaná změna escapementu je téměř triviální: stačí přesunout zastávku tak, aby tam byl prostor pro přesně dvě koule v rameni escapementu, jak vidíte v tomto snímku (všimněte si, že karta byla dočasně odstraněna, aby umožnila přístup k zastavení).

S výjimkou vážení úniků tak, aby byly blízko vyvážené, když drží dva míčky, to je vše, co je třeba udělat. Tady je obrázek plně upraveného počítacího stroje, ve kterém jsou uloženy všechny úložné mramorové úložiště.

Vypadá to prakticky identicky s ternárním čítačem (stačí si uvědomit, že uvnitř úniků jsou dvě kuličky), přesto se bude chovat poněkud jinak. Podívejme se na to v akci.

Co se tady přesně děje? Stroj je v jistém smyslu počítán. Vstupuje do jiného stavu s každým přidaným míčem, pokud jde o počet kuliček v každé z pastí. A žádný ze stavů se neopakuje (přinejmenším ne dříve, než stroj přeteče na 24. přidaném mramoru), takže dostaneme rozdílné zastoupení pro každé nezáporné celé číslo. Pokud video přehrajete a budete sledovat, můžete vytvořit následující tabulku reprezentací:

Číslo Stát Číslo Stát
0 0 12 2120
1 1 13 2121
2 2 14 2122
3 20 15 21010
4 21 16 21011
5 22 17 21012
6 210 18 21200
7 211 19 21201
8 212 20 21202
9 2100 21 21220
10 2101 22 21221
11 2102 23 21222

Jak můžeme pochopit tento nový číselný systém? Co to bylo, že jeden míč v druhé pasti v našem ternárním čítači představoval tři? To byla skutečnost, že za každé tři míčky, které šly do první pasti, byl přidán jeden míč do druhé pasti. Vzhledem k tomu, že nyní se do druhé pasti přidávají dvě koule, když se to stane, zdá se, že míčky ve druhé pasti jsou jen poloviční, než kolik jich bylo v ternárním čítači. Jinými slovy, mohlo by to být, že míč ve druhé pasti představuje 3/2 nebo jeden a půl?

Pokud se podíváte na výše uvedené znázornění, uvidíte například, že stav odpovídající hodnotě 4 je „21“. Pokud to interpretujeme jako 2 × (3/2) + 1, vychází správně na 4!

Co by tedy měl představovat mramor ve třetí pasti? Tři z kuliček v hodnotě 3/2, tedy 9/2, propustí do třetí pasti dvě kuličky, takže každá z nich má hodnotu poloviny 9/2 nebo 9/4. Opět platí, že to funguje s reprezentací výše: 7 je rovno 2 × (9/4) + 1 × (3/2) + 1.

A všimněte si, ne náhodou, že 9/4 je čtverec 3/2. Můžete ověřit stejným způsobem, že kuličky ve čtvrté pasti mají hodnotu kostky 3/2 nebo 27/8. Kuličky v páté pasti (nejspodnější v tomto stroji) stojí za čtvrtý výkon 3/2 nebo 81/16. Opět například 23 = 2 × (81/16) + (27/8) + 2 × (9/4) + 2 × (3/2) + 2.

Jinými slovy, tento stroj počítá v základně 3/2. Podivné - možná se ani nezdá, že by mělo být možné mít zlomkové základy. Koneckonců ne každé možné číslo v základně 3/2 představuje celé číslo. Například „11“ v tomto systému by znamenalo dva a půl, takže se k němu nikdy nedostaneme. Existence tohoto stroje však v podstatě dokazuje, že pro každé celé číslo existuje číslice (můžete si představit, že k vyšším číslům lze přidat další vrstvy úniků a pastí).

Jak to bude mít štěstí, je zde latinská kořenová sesqui-, což znamená přesně „jeden a půl;“ například vyhledá slovo „sesquicentennial“. Rozšířením naší práce na binárních a ternárních počítačích / přidávacích počítačích jsme objevili systém číselných seskupení.

Přitom jsme narazili na okraj nějaké velmi zajímavé a hluboké matematiky. Všimněte si například, že počínaje číslem pro tři začíná každé seskupní číslo číslicí 2. A každá číslice od šesti začíná číslicemi 21. První tři číslice se tímto způsobem stabilizují nebo ne? Co si všimnete na posloupnosti číslic na nejvzdálenějším místě, jak počítáte? V druhé-na-nejvíce? Jiná místa? Všimněte si, že poslední tři číslice každé z těchto číslic jsou odlišné; jinými slovy, můžete rozpoznat, jaké kladné číslo je sesquinary číslo menší nebo rovné 21222 představuje jen od jeho posledních tří číslic, dokonce jestliže skutečná číslice má více než tři číslice. Jak dlouho to trvá? Existuje podobný jev s posledními čtyřmi číslicemi?

Existuje mnoho dalších vzorů, které je třeba si všimnout a otázek, které je třeba zeptat na tento systém čísel; můžete najít mnohem více, že James Tanton navrhuje v části 9 svého kurzu o "Exploding Dots", nebo objevovat své vlastní. (Pokud si tento kurz přečtete, můžete interpretovat to, co jsme dělali za poslední čtyři týdny, jako budování fyzických realizací vybuchujících teček, které Tanton používá jako myšlenkové experimenty.) Ale protože se jedná o sloupec o vytváření skutečných matematických strojů, Zavřu o něco více na sesquinary counter.

Možná by vás zajímalo, zda je důležité, aby se v tomto stroji spouštěly pasti, nebo když se přidají kuličky, aby se správně počítaly. Ukazuje se, že bez jakýchkoliv chybných funkcí to není; Můžete se domnívat, proč, když se trochu zamyslíte, nebo se podívejte na Matematické okouzlení Jima Proppa, kde najdete více informací o tomto tématu. Abychom to dokázali fyzicky, vydejme současně 13 kuliček do nejvyšší pasti a uvidíme, co se stane:

Voilà, to se usadí do stavu 2121 - sesquinary reprezentace 13 - stejně jako to, když jsme přidali kuličky jeden po druhém. Všimněte si, že k provedení této práce jsem musel také přidat kartu do první pasti, aby se zabránilo tomu, že se další mramor vklouzne, když past vyhodí tři kuličky. Ve skutečnosti, protože stroj přenáší dva kuličky do další pasti pokaždé, když je nese, a tato past může již mít dva kuličky v něm, celý stroj by pracoval spolehlivěji, pokud by na nich všechny pasti měly kartu, což by je učinilo esence tři mramorové úniky.

V každém případě je to pro tuto sérii na strojích s matematickým mramorem. Pokud si postavíte vlastní mramorové stroje, nebo objevíte nové vzory v seskupních číslech, dejte mi vědět o tom na [email protected] Jako rozloučenou fotku, zde je obrázek většího sesquinary přidávání stroj, který jsem postavil pro diskusi, že Jim Propp dal na poslední konferenci MOVES a který Propp nazval SESQUIAC:

Podíl

Zanechat Komentář