Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematika Pondělí: Vazby, Část 3: Čtyři pruhy, dvě nebo tři pozice

Glen Whitney pro Muzeum matematiky

Jsme v polovině, aby nám jejich kroky umožňovaly spojení čtyř barů. Viz úvodní příspěvek k této sérii pro sadu MoMath Linkage Kit, úvod a obecné pokyny.

Naposledy jsme viděli složitost toho, co se jeví jako docela jednoduchý mechanismus: čtyři bary, spojené na jejich koncích ve smyčce. Co lze s touto složitostí dělat? Pokud navrhujete mechanismus, možná budete chtít, aby jedna část tohoto mechanismu navštěvovala postupně různá místa, protože mechanismus vykonává svou funkci. Matematická otázka se stává, jak určujete vazbu, která navštěvuje požadovaná místa. Pojďme se tedy podívat:

Dvě místa Ukazuje se, že pokud jsme jen určit dvě místa pro bar, tam je vždy jednoduché otočení roviny, která mapuje jedno místo na druhé, jak to diagram (a Geogebra list) ukazují. (Technická poznámka: mohlo by se stát, že je to vlastně čistý překlad, který posouvá pruh z jedné pozice na druhou. Ale to může být považováno za rotaci kolem bodu „nekonečně daleko“, takže to není tak moc výjimka.)

Při převodu na náš čtyřbarevný spoj můžeme tento bod otáčení spojit se dvěma konci pohyblivé tyče a čtvrtá pevná tyč spojky se zmenší jen na pevný bod. Tento výsledek aplikujeme na stojan a příčku velkého písmene „T“ v následujícím receptu:

Spojka „4-bar“ T Složky: 27-bar (A), 34-bar (B) a 12-bar (C); dvě dvouvrstvé spojovací tyče a jednu třívrstvou spojovací tyč; a jeden spacer.

Pokyny: Spojte A na B až C a zpět na A. Poznámka: budete potřebovat distanční vložku na kloubu A-C, aby byly obě tyče rovinné. (Distanční vložka je ve stejné výšce jako tyč B, jedna z A nebo C výše a jedna níže.)

Vaše propojení by mělo vypadat takto:

Jak používat: upevněte křižovatku A-C v bodě, aby se mohla volně otáčet. Umístěte táhlo tak, aby byl 34-bar dokonale vodorovný. Nyní jej otočte o 90 stupňů doprava. Horní konec 34 barů je nyní přesně ve středu svého dřívějšího umístění, to znamená, že dvě polohy 34 tvoří písmeno „T“. Délka tyče byla vypočtena s použitím výše uvedené konstrukce, aby bylo toto písmeno T. uspořádáno tak, že jsou zde dvě polohy vazby, překryté GIMPem:

OK, kdybychom použili jen tři ze čtyř barů, abychom dosáhli dvou pozic, máme jasně schopnost ušetřit. Můžeme dosáhnout nějakých tří libovolných pozic pro jeden z tyčí, které budeme nazývat „plovoucí bar“? Mohli bychom například udělat plovoucí pruh postupně, aby se pozice tří tahů písmene A? Můžeme. Klíčem v tomto případě je rozpoznat, že s jedním pevným pruhem musí volné koncové body každé z dalších dvou tyčí, které jsou spojeny s pevnou tyčí, putovat v kruhu (to je „siamský kompas“ zmíněného naposledy). Proto musíme najít jeden kruh, který prochází třemi odpovídajícími polohami jednoho z koncových bodů plovoucího pruhu, a další kružnice, která prochází třemi polohami druhého koncového bodu plovoucího pruhu. Vzhledem k tomu, že kruh (nebo technicky, někdy přímá čára) prochází všemi třemi body, můžeme to udělat vždy, jak ukazuje následující diagram a pracovní list Geogebry:

A zde je schéma se segmenty přesunuty napodobit tři tahy "A" (všimněte si, že body B a E jsou nyní superponovány):

To vede k našemu dalšímu receptu:

Spojka 4 bar

Složení: 16-bar (pojďme tomu říci Z tentokrát, abychom se vyhnuli zmatku se všemi ostatními písmeny, které se pohybují kolem), dva 40-ti pruhy (Y a W), 60-ti bar s 30-ti jamkou (X), čtyři linkery a pero.

Pokyny: Spojte Z do Y do X0; spojka X60 až W; a odkaz W na volný konec Z, překračující Y. Volitelně vložte pero přes X30. Vaše propojení by mělo vypadat takto:

Chcete-li použít: Fix Z vodorovně, otočte Y a posuňte X postupně do tří výše uvedených pozic. Zde jsou překryty:

Mimochodem, pokud vložíte pero do středového otvoru plovoucího pruhu a vysledujete ho celou cestu, vytvoříte tuto krásnou kardioidnost:

Příště se pokusíme posunout hranice čtyřbarevné vazby.

Více:

  • Vazby, Úvod
  • Vazby, část 2: Čtyři pruhy, jedna svoboda
  • Podívejte se na všechny naše pondělní rubriky Math

Podíl

Zanechat Komentář