Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematika Pondělí: Spojení - Straight Dope

Pro Muzeum matematiky

A zde je ještě další splátka v naší epické sérii Math Mondays o složitém světě mechanických spojení. Informace o sadě MoMath Linkage Kit, úvod a obecné pokyny naleznete v úvodní části řady Linkages.

OK, napětí, které obklopuje (ne?) Existenci přímého spojení, je vybudováno dost dlouho. Vystřihneme se do chase:

Vazba šnekovníků Složení: Šest 24 tyčí (A, B, C, D, F a H), dva 60-ti pruhy (B a D) a pero.

Pokyny: Opravte vodorovně. Spojte jeden konec A s B. Spojte druhý konec B s oběma C a D. Spojte druhý konec C s oběma E a F. Spojte vzdálenější konec D až G a H. Spojte vzdálené konce F a H perem. Spojte vzdálenější konce E a G s druhým koncem A.

Použití: Otočte B nahoru a dolů tak daleko, jak to půjde, držte pero v kresbě na papíře.

A tady jsou fotky:

Je to… mohlo by to být… je to linie, kterou Peaucellierovo spojení navazuje na poctivou přímočarost? Opravdu to je, a důvod táhne v nějaké docela cool matematice: teorie "inverze v kruhu." Inverze v kruhu je geometrická operace, která přeskupuje rovinu následujícím způsobem: bod ve vzdálenosti d od jednoho zvláštního bod (nazývaný střed inverze) se pohybuje tak, že leží ve stejném směru od středu inverze, ale ve vzdálenosti 1 / d. To je vše, co je k tomu, ale inverze v kruhu má řadu zajímavých a užitečných vlastností: zachovává úhly, a jakákoliv křivka, která je buď kruh nebo přímka, se transformuje do jiné křivky, která je také kruh nebo přímka řádek. Zejména jakýkoliv kruh, který prochází středem inverze, se transformuje na přímku, která neprochází středem inverze. A to je přesně ta vlastnost, kterou Peaucellier potřeboval: jeho spojení je v podstatě jen mechanismus pro provádění inverze v kruhu, spojené s první, nejjednodušší vazbou, o které se hovořilo: kompasem, nakreslit kruh. V tomto případě je střed inverze na vzdálenějším konci A a sloupec B popisuje kruh, který prochází tímto středem inverze.

Je také zajímavé si všimnout, že student Chebyševovy, zachycený v jeho poradcově křížové výpravě k nalezení přímého spojení, nezávisle objevil Peaucellierovo spojení asi o sedm let později. Byla to myšlenka, jejíž čas přišel, navzdory skutečnosti, že v praxi s tolika spoji je obtížné vytvořit spojení Peaucellier, které produkuje extrémně přesný přímý pohyb - v každém kloubu je téměř vždy malý kousek hry, a to sčítá .

Prakticky jakýkoliv nápad, který stojí za to, může být upřesněn a toto propojení není výjimkou. Zde je spojení s výrazně méně spoji a velmi zajímavým pohybem. Všimněte si, že pokud vím, neexistuje spojení mezi tímto a předchozím autorem Math Mondays.

Hart A-rám Složení: 60-bar (A), dva 60-tyčky s otvory v 45 (B a C), tři 30-bar (D, E a F) a pero.

Pokyny: Opravte vodorovně. Spojte každý konec A s 60 barem s otvorem 45 (B a C). B až C °; odkaz C30 na D a D zpět na pravý konec A. Vložte pero do C60. Spojení B45 až D a B60 do E. Propojte druhý konec D až C45. Spojte C60 na F a spojte volné konce E a F perem.

Použití: Otočte B co nejvíce doleva a doprava tak, jak to půjde, držte pero v kresbě díry na papíře.

Můžete zjistit, proč Hart A-frame teoreticky kreslí naprosto rovnou linii?

Více:

  • Vazby, Úvod
  • Vazby, část 2: Čtyři pruhy, jedna svoboda
  • Vazby, Část 3: Čtyři pruhy, dvě nebo tři polohy
  • Vazby, Část 4: Čtyři pruhy, čtyři polohy
  • Vazby, Část 5: Čtyři pruhy, více pozic?
  • Vazby, Část 6: Biomikry
  • Vazby, část 7: Svět „B.X.“
  • Vazby, část Část 8: Při hledání přímosti
  • Vazby, část Část 9: Pojďme si to rovně
  • Podívejte se na všechny naše pondělní rubriky Math

Podíl

Zanechat Komentář